Question

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边， 2b-c a = cosC cosA （1）求A的

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边， 2b-c a = cosC cosA （1）求A的大小；（2）当 a= 3 时，求b 2 +c 2 的取值范围．

Answer 1

（1）△ABC中， 2b-c a = cosC cosA ，由正弦定理变形得： 2sinB-sinC sinA = cosC cosA ， 即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA， 整理得：2sinBcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0，∴cosA= 1 2 ， 则A= π 3 ； （2）由正弦定理及a= 3 ，sinA= 3 2 得 a sinA = b sinB = c sinC = 3 3 2 =2， 得：b=2sinB，c=2sinC， 则b 2 +c 2 =4sin 2 B+4sin 2 C =2（1-cos2B+1-cos2C） =2[2-cos2B-cos2（120°-B）] =2[2-cos2B-cos（240°-2B）] =2（2- 1 2 cos2B+ 3 2 sinB） =4+2sin（2B-30°）， ∵0＜B＜120°，即-30°＜2B-30°＜210°， ∴- 1 2 ＜sin（2B-30°）≤1， 则3＜b 2 +c 2 ≤6．