Question

设函数 f(x)=lg(2x-3)(x- 1 2 ) 的定义域为集合A，函数 g(x)= - x 2 +4ax-3 a 2

设函数 f(x)=lg(2x-3)(x- 1 2 ) 的定义域为集合A，函数 g(x)= - x 2 +4ax-3 a 2 （a＞0）的定义域为集合B．（1）当a=1时，求集合A∩B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由函数 f(x)=lg(2x-3)(x- 1 2 ) 有意义， 得： (2x-3)(x- 1 2 )＞0 ， 即 x＜ 1 2 或 x＞ 3 2 ， 所以 A=(-∞， 1 2 )∪( 3 2 ，+∞) ，（3分） 当a=1时，函数 g(x)= - x 2 +4x-3 有意义， 得：-x 2 +4x-3≥0， 即x 2 -4x+3≤0， ∴1≤x≤3，∴B={x|1≤x≤3}， ∴ A∩B=( 3 2 ，3] （6分） （2）由函数 g(x)= - x 2 +4x-3 a 2 （a＞0）有意义得-x 2 +4x-3a 2 ≥0， 即（x-a）（x-3a）≤0， ∵a＞0，∴a≤x≤3a， ∴B=[a，3a]，（8分） 若A∩B=B，则B?A，（10分） ∴ a＞0 3a＜ 1 2 或 a＞ 3 2 ，得 0＜a＜ 1 6 或 a＞ 3 2 ， 即 a∈(0， 1 6 )∪( 3 2 ，+∞) （12分）