Question

如图，四棱柱ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧棱A 1 A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA 1 ＝AB＝2

如图，四棱柱ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧棱A 1 A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA 1 ＝AB＝2，E为棱AA 1 的中点． (1)证明B 1 C 1 ⊥CE；(2)求二面角B 1 ­CE­C 1 的正弦值；(3)设点M在线段C 1 E上，且直线AM与平面ADD 1 A 1 所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．

Answer 1

（1）见解析  （2）   （3）

如图，以点A为原点，以AD，AA 1 ，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B 1 (0,2,2)，C 1 (1,2,1)，E(0,1,0)． (1)证明：易得 ＝(1,0，－1)， ＝(－1,1－1)，于是 · ＝0，所以B 1 C 1 ⊥CE. (2) ＝(1，－2，－1)． 设平面B 1 CE的法向量m＝(x，y，z)， 则 ，即 消去x，得y＋2z＝0， 不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B 1 C 1 ⊥CE，又CC 1 ⊥B 1 C 1 ， 可得B 1 C 1 ⊥平面CEC 1 ， 故 ＝(1,0，－1)为平面CEC 1 的一个法向量． 于是cos〈m， 〉＝ ＝ ＝ ，从而sin〈m， 〉＝ . 所以二面角B 1 —CE—C 1 的正弦值为 . (3) ＝(0,1,0)， ＝(1,1,1)． 设 ＝λ ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有 ＝ ＋ ＝(λ，λ＋1，λ)． 可取 ＝(0,0,2)为平面ADD 1 A 1 的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD 1 A 1 所成的角，则 sin θ＝|cos〈 ， 〉|＝ ＝ ＝ ， 于是 ＝ ，解得λ＝ (负值舍去)， 所以AM＝ .