Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，(Ⅰ

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，(Ⅰ)证明：M是侧棱SC的中点；(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小．

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Answer 1

(Ⅰ)证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD， 连结AE，则四边形ABME为直角梯形， 作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形， 设ME=x，则SE=x， ， MF=AE= ，FB=2-x， 由MF=FB·tan 60°，得 ， 解得x=1，即ME=1， 从而 ，所以M为侧棱SC的中点。 (Ⅱ)解：MB= =2， 又∠ABM=60°，AB=2，所以△ABM为等边三角形． 又由(Ⅰ)知M为SC中点， ， 故 ， 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH， 则BG⊥AM，GH⊥AM， 由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角， 连结BH，在△BGH中， ，BH= ， 所以， ， 所以，二面角S-AM-B的大小为arccos 。