Question

如图，在矩形OABC中，点A（0，10），C（8，0）．沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处

如图，在矩形OABC中，点A（0，10），C（8，0）．沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求D的坐标及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD，
由勾股定理易得EO=6，
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，
∴AD=3，
∴D（3，10），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）．
∴

9a+3b＝10 64a+8b＝0

，
解得：

a＝? 2 3 b＝ 16 3

，
∴抛物线的解析式为：y=-

2

3

x²+

16

3

x；
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，
而CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t，
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴

CQ

EA

=

CP

ED

，即

t

4

=

10?2t

5

，
解得：t=

40

13

，
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴

PC

AE

=

CQ

ED

，即

10?2t

4

=

t

5

，
解得：t=

25

7

，
∴当t=

40

13

或

25

7

时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；
（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点，
则：M（4，

32

3

），
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴线段MN必被EC中点（4，3）平分，
则N（4，-

14

3

）；
②EC为平行四边形的边，则EC∥MN，EC=MN，
设N（4，m），则M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
将M（-4，m+6）代入抛物线的解析式中，
解得：m=-38，
此时 N（4，-38）、M（-4，-32）；
将M（12，m-6）代入抛物线的解析式中，
解得：m=-26，
此时 N（4，-26）、M（12，-32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M₁（-4，-32），N₁（4，-38）
②M₂（12，-32），N₂（4，-26）
③M₃（4，

32

3

），N₃（4，-

14

3

）．