Question

数学求解！

Answer 1

1. 证明：an-1,an-2的等差中项是an，故有2an = an-1 + an-2，从而有

              an - an-1 = an-2 - an = (an-2 - an-1) + (an-1 - an)，即

              2(an - an-1)=-(an-1 - an-2)，因此an - an-1=-1/2(an-1 - an-2)

              数列{an - an-1}是首项为a2-a1=-1/2，公比为-1/2的等比数列

2. 由1得an - an-1=(-1/2)^(n-1)，两边同除(-1/2)^(n-1)，得

   -(1/2)an/(-1/2)^n - an-1/(-1/2)^(n-1)=1，记bn=an/(-1/2)^n，则有-1/2 bn - bn-1=1

   可变换为bn + 2/3 = -2(bn-1 + 2/3)，从而{bn+2/3}是公比为-2的等比数列

   b1=a1/(-1/2)^1=-2，故bn+2/3=(-2+2/3)*(-2)^(n-1)=(-4/3)*(-2)^(n-1)

   从而得an=(-1/2)^n * bn=(-1/2)^n * ((-4/3)(-2)^(n-1)-2/3)=2/3 (1 - (-1/2)^n)

Answer 2

1.等差中项为an 因此 (an-1)+(an-2)=2*an 即(an-an-1)=-0.5*(an-1-an-2)
因此数列{an-an-1}是比例为-0.5的等比数列。
2.由于{an-an-1}是等比数列，得出通项公式：an-an-1=(-0.5)的n-1次方
an-1-an-2=(-0.5)的n-2次方
......
a2-a1=-0.5
相加得：an-a1=-1/3 - 2/3*(-0.5)^n
因此an=2/3 *(1-(-0.5)^n)