Question

ABCD是个正方形，角DAE=角ADE=15度，证明三角形EBC为等边三角形

Answer 1

证明：过点D作DF垂直AE并与AE的延长线交于F，过点B作BG垂直AG于G
所以角AFD=角DFE=90度
角AGB=角EGB=90度
因为角DAE=角ADE=15度
所以AE=DE
因为角DEF=角DAE+角ADE
所以角DEF=30度
在直角三角形DFE中，角DFE=90度
所以DF=1/2DE
所以DF=1/2AE
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD=BC
角BAD=角ABC=90度
因为角ABD=角BAG+角DAE
所以角BAG=75度
因为角BAG+角ABG+角AGB=180度
所以角ABG=15度
所以角ABG=角DAE=15度
角AGB=角AFD=90度
所以三角形ABG和三角形DAF全等（AAS)
所以AG=DF
所以AG=1/2AE
因为AE=AG+GE
所以AG=GE
角AGB=角EGB=90度
因为BG=BG
所以三角形ABG和三角形EBG全等（SAS)
所以AB=BE
角ABG=角EBG=15度
所以BE=BC
所以三角形CBE是等腰三角形
因为角ABG+角EBG+角CBE=角ABC=90度
所以角CBE=60度
所以三角形CBE是等边三角形

Answer 2

因为角DAE=角ADE=15度，所以AE=DE，角BAE=角CDE=75°
三角形BAE和三角形CDE中，BA=CD，角BAE=角CDE=75°，AE=DE。
所以三角形BAE和三角形CDE全等，所以BE=CE

Answer 3

勾股定理学过吧。用代数的方法应更为直观
设正方形边长为1,AE长为X三角形ADE中，AD边高为H,由外角关系知DE边的高为X/2,由三角形面积公式得X*X/2=H,由勾股定理得H^2+1/4=X^2
整理方程得H^2-2H+1/4=0,求得H的两根分别为1+根号3/2,1-根号3/2，H小于正方形边长1，舍第1 个根，则三角形BC的高为1-（1-根号3/2)=根号3/2
则BE的长=根号下1/4+3/4=1
同理可得ec的长=1
综上所述，题目得证

Answer 4

设正方形的边长是a，在△AED中，∠DAE=∠ADE=15°，所以∠AED=150°。由正弦定理，AE/sin15°=AD/sin150°，所以AE=2a×sin15°。
∠BAE=90°-15°=75°，在△ABE中，由余弦定理，BE²=AB²+AE² -2×AB×AE×cos75°=a²+4a²sin²15° -2×a×2asin15°×sin15°=a²，所以BE=a。
同样可以推出CE=a（也可利用△ABE与△DCE全等得BE=CE）。
又BC=a，所以BE=CE=BC，所以△BCE是等边三角形。

Answer 5

解：设正方形边长为a，∠ADE=15°，由勾股定理可得ED=0.518a，
由ED=0.518a，∠EDC=75°，DC=a，由余弦定理可得EC=a [EC²=（0.518a）²+a²-2*0.518a*a*COS75]。