Question

已知向量组a1=(1,-1,2,4)T a2=(3,0,7,14)T a3=(0,3,1,2)T a4=(1,-1,2,0)T,

判断其线性相关性，并将其余向量用最大无关组表示，请老师详细的说一下是怎么看出来是想关还是无关的，谢谢！

Answer 1

(a1,a2,a3,a4)=
1 3 0 1
-1 0 3 -1
2 7 1 2
4 14 2 0
经初等行变换化为
1 0 -3 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
所以向量组的秩为 3 (非零行数), 向量组 a1,a2,a3,a4 线性相关
a1,a2,a4 是一个极大无关组 (非零行的首非零元所在列对应的向量)
-- r(a1,...,as) < s <=> a1,...,as 线性相关
-- r(a1,...,as) = s <=> a1,...,as 线性无关
且 a3 = -3a1 + a2.

Answer 2

将向量组由行转为列，
进行初等行变换：
1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0 1
-1 0 3 -1 —› 0 3 3 0 —›0 0 0 0
2 7 1 2 0 1 1 0 0 1 1 0
4 14 2 0 0 2 2 -4 0 2 2 -4
由第二式是0330，第三行是0110，对应成比例。
（1）线性相关。
（2）秩=3.
（3）去掉第二行即可。