Question

问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠ABC

问题：如图（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及 PG PC 的值，小聪同学的思路是延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及 PG PC 的值．（2）将图（1）中的菱形BEFG恰好与菱形ABCD的边AB在同一直线上，原问题中的其它条件不变（如图（2））你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

（1）延长GP，交CD于点H， ∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形， ∴CD ∥ AB ∥ GF， ∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF， ∵P是线段DF的中点， ∴DP=PF， 在△DPH和△FGP中， ∠PDH=∠PFG ∠DHP=∠PGF DP=PF ， ∴△DPH≌△FGP（AAS）， ∴PH=PG，DH=GF， ∵CD=BC，GF=GB=DH， ∴CH=CG， ∴CP⊥HG，∠ABC=60°， ∴∠DCG=120°， ∴∠PCG=60°， ∴PG：PC=tan60°= 3 ， ∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC， PG PC = 3 ； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图（2），延长GP交AD于点H，连接CH，CG， ∵P是线段DF的中点， ∴FP=DP， ∵AD ∥ GF， ∴∠HDP=∠GFP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP（ASA）， ∴GP=HP，GF=HD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°， ∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上， ∴∠GBF=60°， ∴∠HDC=∠GBF， ∵四边形BEFG是菱形， ∴GF=GB， ∴HD=GB， ∴△HDC≌△GBC， ∴CH=CG∠HCD=∠GCB， ∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∵∠ABC=60° ∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°， ∵∠HCG=∠HCB+∠GCB， ∴∠HCG=120°， ∴∠GCP=60°， ∴ PG PC =tan∠GCP=tan60°= 3 ．