Question

已知数列{an}的通项公式an=1(n+1)2（n∈N*），记f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．（1）试通过计算f（

已知数列{an}的通项公式an=1(n+1)2（n∈N*），记f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．（1）试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值；（2）试用数学归纳法证明你的推测．

Answer 1

（1）由a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*）得a₁=

1

4

，a₂=

1

9

，a₃=

1

16

，
将其代入f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得f（1）=

3

4

，f（2）=

4

6

，f（3）=

5

8

，
猜想f（n）=

n+2

2n+2

，（n∈N^*）
（2）证明：①当n=1时，f（1）=

1+2

2×1+2

＝

3

4

，由（1）可知，猜想成立．
②假设n=k时，猜想成立，即f（k）=

k+2

2k+2

成立，
由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）可知f（k+1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1+a_k+1）=f（k））（1-a_k+1）
=

k+2

2k+2

（1-

1

(k+2)2

）
=

k+2

2(k+1)

?

(k+2)2?1

(k+2)2

=

k+2

2(k+1)

?

(k+3)(k+1)

(k+2)2

=

(k+1)+1

2(k+1)+2

即n=k+1时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任意的正整数都成立．