Question

已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边a

已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：△=[-（k+2）]²-4×1×2k=（k-2）²，
∵无论k取何值，（k-2）²≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解：①当b=c时，则△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；

②解：当b=a=3时，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k=b=3，
∴c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8；
综上所述，△ABC的周长为7或8．