Question

如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；

如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC．其中正确的是（　　）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③

Answer 1

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①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC=180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，

AP＝AP PM＝PD

，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，
故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=

1

2

∠ACF=∠BPC+

1

2

∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述，①③④正确．
故选B．