如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．（1）求A，B两
如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．（1）求A，B两点的坐标；（2）是否存在以BM为斜边的Rt△BCM...
如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．（1）求A，B两点的坐标；（2）是否存在以BM为斜边的Rt△BCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且S△BPQ=S△CMQ，请写出点P的坐标．
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（1）令y=0，则mx2-2mx-3m=0，
即x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0）；
（2）令x=0，则y=-3m，
∴点C坐标为（0，-3m），
∵y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点M坐标为（1，-4m），
∴BC2=32+（3m）2=9+9m2，BM2=（3-1）2+（4m）2=4+16m2，MC2=12+[（-3m-（-4m）]2=1+m2，
∵Rt△BCM以BM为斜边，
∴BC2+MC2=BM2，
即9+9m2+1+m2=4+16m2，
整理得，m2=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（3）在（2）的条件下，点C坐标为（0，-3），M（1，-4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
，
所以直线BC的解析式为y=x-3，
∵S△BPQ=S△CMQ，
∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ，
即S△BPC=S△BMC，
∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，
∴MP∥BC，
设MP的解析式为y=x+c，
则1+c=-4，
解得c=-5，
所以，直线MP的解析式为y=x-5，
联立
，
解得
即x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0）；
（2）令x=0，则y=-3m，
∴点C坐标为（0，-3m），
∵y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点M坐标为（1，-4m），
∴BC2=32+（3m）2=9+9m2，BM2=（3-1）2+（4m）2=4+16m2，MC2=12+[（-3m-（-4m）]2=1+m2，
∵Rt△BCM以BM为斜边，
∴BC2+MC2=BM2，
即9+9m2+1+m2=4+16m2，
整理得，m2=1，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（3）在（2）的条件下，点C坐标为（0，-3），M（1，-4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
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解得
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所以直线BC的解析式为y=x-3，
∵S△BPQ=S△CMQ，
∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ，
即S△BPC=S△BMC，
∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，
∴MP∥BC，
设MP的解析式为y=x+c，
则1+c=-4，
解得c=-5，
所以，直线MP的解析式为y=x-5，
联立
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解得
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