Question

已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3-4x+1；（2）若对?x∈（1，e），f

已知函数f（x）=alnx+1（a＞0）．（1）当a=1且x＞1时，证明：f（x）＞3-4x+1；（2）若对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=12时，证明：n+1i＝2f（i）＞2（n+1-n+1）．

Answer 1

（1）证明：要证f（x）＞3-

4

x+1

，即证lnx+

4

x+1

-2＞0，
令m（x）=lnx+

4

x+1

-2，
则m'（x）=

1

x

?

4

(x+1)2

＝

(x?1)2

x(x+1)2

＞0，
∴m（x）在（1，+∞）单调递增，m（x）＞m（1）=0，
∴lnx+

4

x+1

-2＞0，
即f（x）＞3-

4

x+1

成立．
（2）解法一：由f（x）＞x且x∈（1，e），可得a＞

x?1

lnx

，
令h（x）=

x?1

lnx

，则h'（x）=

lnx?1+ 1 x

(lnx)2

，
由（1）知lnx-1+

1

x

＞1+

1

x

?

4

x+1

=

(x?1)2

x(x+1)2

＞0，
∴h'（x）＞0函数，h（x）在（1，e）单调递增，当x∈（1，e）时，h（x）＜h（e）=e-1，
即a≥e-1．
解法二：令h（x）=alnx+1-x，则h'（x）=

a

x

?1＝

a?x

x

，
当a＞e时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，e）上是增函数，有h（x）＞h（1）=0，
当1＜a≤e时，∵函数h（x）在（1，a）上递增，在（a，e）上递减，
对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1．---------------（7分）
当a≤1时，函数h（x）在（1，e）上递减，对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合题意，-----------------------------------------------------------（8分）
综上得对?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．------------------------（9分）】
【解法三：由f（x）＞x且x∈（1，e）可得

1

a

＜

ln?x

x?1

由于

lnx

x?1

表示两点A（x，lnx），B（1，0）的连线斜率，
由图象可知y=

lnx

x?1

在（1，e）单调递减，
故当x∈（1，e）时，

lnx

x?1

＞

lne

e?1

＝

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