Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．

Answer 1

（1）令x=y=0，则有f（0）=2f（0）?f（0）=0．…（2分）
再令y=-x，则f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0．
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．…（4分）
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0．…（6分）
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），可得y=f（x）在R上为减函数．…（9分）
因此f（3）为函数的最小值，f（-3）为函数的最大值． 
∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
∴函数最大值为6，最小值为-6．…（12分）