Question

已知函数f（x）=-x+1x（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义法证明函数f（x）在（0，∞）是减

已知函数f（x）=-x+1x（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）用定义法证明函数f（x）在（0，∞）是减函数；（3）若f（32a+1）＜f（（13）4-a），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=-x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，
∴定义域关于原点对称
又∵f(?x)＝?(?x)+(

1

?x

)=x?

1

x

＝?(?x+

1

x

)＝?f(x)
∴f（x）是奇函数…..（2分）
（2）设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(?x1+

1

x1

)-(?x2+

1

x2

)=x2?x1+

1

x1

?

1

x2

=

x1x2(x2?x1)

x1x2

+

x2?x1

x1x2

=

(x1x2+1)(x2?x1)

x1x2

∵x₁?x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x₁?x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，∞）是减函数…（7分）
（3）由（1）知f（x）在（0，∞）是减函数且3^2a+1＞0，（

1

3

）^4-a＞0，
∴f（3^2a+1）＜f（（

1

3

）^4-a）可化为：3^2a+1＞（

1

3

）^4-a
即3^2a+1＞3^a-4，
即2a+1＞a-4，
解得a＞5，
所以实数a的取值范围为a＞5…..（13分）