设二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x1+x3）2（1）写出二次型的矩阵（2）求正交变换，将二
设二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x1+x3）2（1）写出二次型的矩阵（2）求正交变换，将二次型化为标准型．...
设二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x1+x3）2（1）写出二次型的矩阵（2）求正交变换，将二次型化为标准型．
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由题意，f（x1，x2，x3）=2x12+2x1x2+2x1x3+2x22?2x2x3+2x32
因此，（1）二次型的矩阵A＝
（2）①求特征值：
由于A的特征多项式为：|λE?A|＝
=λ（λ-3）2=0，得特征值为
λ=0，λ=3（2重）
②求特征向量：
将λ=0代入（λE-A）x=0，得基础解系：ξ1＝(?1，1，1)T，
将λ=3（2重）代入（λE-A）x=0，得基础解系：ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T
③将特征向量正交化：
取α1=ξ1，α2=ξ2，α3＝ξ3?
α2=ξ3?
ξ2，得正交向量组：
α1＝(?1，1，1)T，α2＝(1，1，0)T，α3=(
，?
，1)T
④将其单位化，得
η1＝
(?1，1，1)T，η2＝
(1，1，0)T，η3＝
(
，?
，1)T
得正交矩阵：
P＝
因此，（1）二次型的矩阵A＝
|
（2）①求特征值：
由于A的特征多项式为：|λE?A|＝
|
λ=0，λ=3（2重）
②求特征向量：
将λ=0代入（λE-A）x=0，得基础解系：ξ1＝(?1，1，1)T，
将λ=3（2重）代入（λE-A）x=0，得基础解系：ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T
③将特征向量正交化：
取α1=ξ1，α2=ξ2，α3＝ξ3?
| [α2，ξ3] |
| [α2，α2] |
| 1 |
| 2 |
α1＝(?1，1，1)T，α2＝(1，1，0)T，α3=(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
④将其单位化，得
η1＝
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
得正交矩阵：
P＝
|
