Question

已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）的极大值为427，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1

已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）的极大值为427，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）=f（x0）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”．设b=0，若F（x）=af(x)x2+g（x）关于实数a可线性分解，求a取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或

2

3

．
当x变化时，f′（x）及f（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	，（ 2 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴f（x）的极大值为f（

2

3

）=

4

27

+b=

4

27

，
∴b=0．
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，（x-Inx）a≤x²-2x得．
∵x∈[1，e]，∴Inx≤1≤x且等号不能同时取，
∴Inx＜x，即x-Inx＞0，
∴a≤

x2?2x

x?Inx

恒成立，即a≤(

x2?2x

x?Inx

)min
令t（x）=

x2?2x

x?Inx

，（x∈[1，e]），求导得，t′（x）=

(x?1)(x+2?2Inx)

(x?Inx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，0≤Inx≤1，x+2-Inx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，
∴t_min（x）=t（1）=-1，
∴a≤-1．
（3）证明：F（x）=

af(x)

x2

+g(x)=a（-x+1+Inx）
由已知，存在x₀＞0，使F（x）关于实数a 可线性分解，则F（x₀+a）=F（x₀）+F（a），
即为a[-（x₀+a）+1+In（x₀+a）]=a（-x₀+1+Inx₀）+a（-a+1+Ina）
∴In

x0+a

x0a

＝1，∴

x0+a

x0a

＝e，
解得x0＝

a

ae?1

，
∵x₀＞0，
∴a＞

1

e