椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（1，32），离心率为12，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点
椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（1，32），离心率为12，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面...
椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（1，32），离心率为12，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为1227时，求l的方程．
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（1）∵椭圆C：
+
＝1过点A(1，
)，
∴
+
＝1…（1分）
∵离心率为
，∴
＝
，…（2分）
又∵a2=b2+c2…（3分）
解①②③得a2=4，b2=3…（4分）
∴椭圆C的方程为：
+
＝1…（6分）
（2）由（1）得F1（-1，0）
①当l的倾斜角是
时，l的方程为x=-1，焦点A(?1，
)，B(?1，?
)
此时s△ABF2＝
|AB|×|F1F2|＝
×3×2＝3≠
，不合题意．…（7分）
②当l的倾斜角不是
时，设l的斜率为k，
则其直线方程为y=k（x+1）
由
，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝?
，x1x2＝
…（9分）
∴S△F2AB＝S△F1F2B+S△F1F2A＝
|F1F2|(|y1|+|y2|)
=
×2|y1?y2|＝|k(x1+1)?k(x2+1)|
=|k|
＝|k|
=|k|
＝
…（10分）
又已知S△F2AB＝
，
∴
＝
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
∵离心率为
| 1 |
| 2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
又∵a2=b2+c2…（3分）
解①②③得a2=4，b2=3…（4分）
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由（1）得F1（-1，0）
①当l的倾斜角是
| π |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
此时s△ABF2＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
12
| ||
| 7 |
②当l的倾斜角不是
| π |
| 2 |
则其直线方程为y=k（x+1）
由
|
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝?
| 8k2 |
| 4k2+3 |
| 4k2?12 |
| 4k2+3 |
∴S△F2AB＝S△F1F2B+S△F1F2A＝
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=|k|
| |x1?x2|2 |
| (x1+x2)2?4x1x2 |
=|k|
(?
|
12|k|
| ||
| 4k2+3 |
又已知S△F2AB＝
12
| ||
| 7 |
∴
12|k|
| ||
| 4k2+3 |
| 12 |
