Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在AD上，

将△CBP和 △QAP分别沿PC、OQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线。
△QAP分别沿PC、OQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线。
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况呢？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)由题可得，EF=PE=BP=1/2AP ；∠BPC=∠EPC,∠APQ=∠FPQ ∵AB=4 且 AP+PB=4 ∴AP=8/3，BP=4/3 ∵∠BPC+∠EPC+∠APQ+∠FPQ=180° ∴∠FPQ+∠EPC=90° ∵∠AQP+∠APQ=90° ∴∠AQP=∠EPC 即 ∠AQP=∠BPC 在Rt⊿BCP和Rt⊿APQ中 cos∠AQP=cos∠BPC 即 AP/AQ=BC/BP ∵BC=2 故 AQ=AP×BP÷BC=8/3×4/3÷2=16/9
(2)由题可得，QF∥EC，EF=2，PE=BP，AP=FP ；∵PF=EF+EP=EF+BP，AB=AP+PB，AB=4
∴AB=EF+BP+PB=2+2PB=4 ∴BP=1 故 AP=AB-BP=4-1=3

Answer 2

(1)由题可得，EF=PE=BP=1/2AP ；∠BPC=∠EPC,∠APQ=∠FPQ ∵AB=4 且 AP+PB=4 ∴AP=8/3，BP=4/3 ∵∠BPC+∠EPC+∠APQ+∠FPQ=180° ∴∠FPQ+∠EPC=90° ∵∠AQP+∠APQ=90° ∴∠AQP=∠EPC 即 ∠AQP=∠BPC 在Rt⊿BCP和Rt⊿APQ中 cos∠AQP=cos∠BPC 即 AP/AQ=BC/BP ∵BC=2 故 AQ=AP×BP÷BC=8/3×4/3÷2=16/9
(2)由题可得，QF∥EC，EF=2，PE=BP，AP=FP ；∵PF=EF+EP=EF+BP，AB=AP+PB，AB=4
∴AB=EF+BP+PB=2+2PB=4 ∴BP=1 故 AP=AB-BP=4-1=3
第(3)问中"是否存在两个在同一条直线上的情况呢？"是什么意思啊？有些看不懂