Question

已知关于x的一元二次方程x^2-2(m-2)x-m^2/4=0 (1)求证 无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实数根

已知关于x的一元二次方程x^2-2(m-2)x-m^2/4=0
(1)求证 无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实数根
(2)若这个方程的两个实根x1,x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1,x2

Answer 1

答：
（1）方程为x^2-2(m-2)x-m^2/4
判别式△
=b^2-4ac
=4(m-2)^2-4*1*(-m^2/4)
=4(m-2)^2+m^2
=5m^2-16m+16>0
所以：原方程总有两个相异的实数根。

（2）根据韦达定理得：
x1+x2=2(m-2)
x1*x2=-m^2/4<=0
当m=0时，x1=0，x2=4，不符合|x2|=|x1|+2；
当m≠0时，x1*x2=-m^2/4<0：说明方程的两个根一正一负。
x1=[2(m-2)-√(5m^2-16m+16)]/2<0
x2=[2(m-2)+√(5m^2-16m+16)]/2>0
代入|x2|=|x1|+2整理得：2(m-2)+√(5m^2-16m+16)=2(2-m)+√(5m^2-16m+16)+4
解得：m=3；
x1=1-√13/2
x2=1+√13/2
或者：
x1=[2(m-2)+√(5m^2-16m+16)]/2>0
x2=[2(m-2)-√(5m^2-16m+16)]/2<0
代入|x2|=|x1|+2整理得：2(2-m)+√(5m^2-16m+16)=2(m-2)+√(5m^2-16m+16)+4
解得：m=1；
x1=-1+√5/2
x2=-1-√5/2.

综上所述，m=3时，x1=1-√13/2，x2=1+√13/2；m=1时，x1=-1+√5/2，x2=-1-√5/2.