Question

矩阵的秩是怎么定义的,以及为什么要这么定义

Answer 1

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。

能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）

矩阵的秩的几何意义如下：在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。

扩展资料：

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。

如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。

参考资料来源：百度百科——矩阵的秩

Answer 2

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。
能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）

矩阵的秩的几何意义如下：
在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。
对于每一个线性变换，它所对应矩阵的秩就是V在此线性变换下的像空间的维数。

追问

讲的太抽象了，能否说简单一点，而且什么叫n维线性空间，什么又叫基，还有那原因说的太模糊了，为什么行秩和列秩相等就可以这么定义呢？还望老师详细的解说一下

追答

空间就是一组向量构成的集合，定义加法和纯量乘法并满足：某集合中两个向量相加或一个向量与纯量相乘的结果仍属于这个集合。在这些空间中总能找到这么一组向量：它们之间是线性无关的，即a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 当且仅当a1 = a2 = ... = an = 0，这组向量叫做基，它的个数称为空间的维数。
比如我们生活的空间就是三维的线性空间,这其中x,y,z轴上的单位向量即构成一组基。把这组基用向量表示为(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)再合成一个矩阵，这就把几何空间维数的问题转化为矩阵的秩了。换言之，矩阵的秩决定了空间中极大无关向量组中向量的个数，通俗地说就是空间“向多少个方向扩展”。

Answer 3

通过化简矩阵 使矩阵达到最简 有多少行非零的 秩就是多少 秩和解的个数有关

Answer 4

Answer 5

矩阵的秩的定义：是其行向量或列向量的极大无关组中包含向量的个数。
能这么定义的根本原因是：矩阵的行秩和列秩相等（证明可利用n+1个n维向量必线性相关）

矩阵的秩的几何意义如下：
在n维线性空间V中定义线性变换，可以证明：在一组给定的基下，任一个线性变换都可以与一个n阶矩阵一一对应；而且保持线性；换言之，所有线性变换组成的空间End<F>(V)与所有矩阵组成的空间M(n)<F>是同构的。
对于每一个线性变换，它所对应矩阵的秩就是V在此线性变换下的像空间的维数。