Question

如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，EF过点O交AD于点O，AB=6cm，BC=8cm，AG⊥AC于G，P是AD上一动点

如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，EF过点O交AD于点O，AB=6cm，BC=8cm，AG⊥AC于G，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值是多少？这个值会随着P点的移动（不到达A、D两点）而改变吗？请说明理由。

Answer 1

解：PE+PF=4.8cm 是一定值。
理由如下：
证明：
∵在矩形ABCD中，PE⊥AC，PF⊥BD
∴ΔPAE∽ΔCAD，ΔPDF∽ΔBDA
∴PE/CD=PA/CA，PF/BA=PD/BD
∴PE/CD+PF/BA=PA/CA+PD/BD
∵AB=CD，AC=BD
∴(PE+PF)/AB=（PA+PD)/BD =AD/BD
即PE+PF=ADxAB/BD
∵AB=6cm，AD=BC=8cm，BD=√(AB²+AD²)=10 cm
∴PE+PF=8x6/10=4.8(cm) 为定值

Answer 2

PE+PF=AG, 不变
证明：过P点作PH⊥AG
则PHGF为矩形
∴PF=HG, PH∥BD
∠APH=∠ADB
∵AO=OD
∴∠ADB=∠DAO
∴∠APH=∠DAO
∠AHP=∠AEP=90
∴⊿APH∽⊿PAE
AH=PE
∴AG=AH+HG=PE+PF

Answer 3

结论：不改变
理由：其实PE+PF就是AG的长，所以利用面积相等。
即6*8=10*AG 故AG=4.8
所以PE+PF=4.8
（”其实PE+PF就是AG的长“为什么呢？你可以过点F作FM平行于AB，交AG于F，在证三角形全等即可）