Question

已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．（1）求证

已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若 AC AB = 1 4 ， BC=4 5 ，求⊙O的面积．

Answer 1

（1）连接OD． ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD ∥ AC， ∴∠ODB=∠ACB=90°， ∴BD是⊙O的切线． （2）∵ AC AB = 1 4 ， ∴AB=4AC， ∵BC 2 =AB 2 -AC 2 ， ∴15AC 2 =80， ∴AC= 16 3 ， ∴AB=4 16 3 ． 设⊙O的半径为r， ∵OD ∥ AC， ∴△BOD ∽ △BAC， ∴ OB AB = OD AC ∴ 4 16 4 -r 4 16 3 = r 16 3 ，解得：r= 16 3 15 ∴πr 2 =π?（ 16 3 15 ） 2 = 256 75 π ， ∴⊙O的面积为 256 75 π ．