已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1?PF2＝c2，则此椭圆离心
已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1?PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是______．...
已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆x2a2+y2b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1?PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是______．
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由椭圆的定义得：
PF1+PF2=2a
平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2．①
又∵
?
＝c2，
∴|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=c2，②
由余弦定理得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2，③
由①②③得：cos∠F1PF2=
≤1?
c≤a?e≤
|PF1|?|PF2|=2a2-3c2，又|PF1|?|PF2|≤(
)2＝a 2
∴2a2-3c2≤a2?a2≤3c2?e≥
则此椭圆离心率的取值范围是：[
，
PF1+PF2=2a
平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2．①
又∵
| PF1 |
| PF2 |
∴|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=c2，②
由余弦定理得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2，③
由①②③得：cos∠F1PF2=
| c 2 |
| 2a 2?3c 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
|PF1|?|PF2|=2a2-3c2，又|PF1|?|PF2|≤(
| |PF1|+|PF2| |
| 2 |
∴2a2-3c2≤a2?a2≤3c2?e≥
| ||
| 3 |
则此椭圆离心率的取值范围是：[
| ||
| 3 |
