Question

如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在直角坐标系中如图摆放，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（6，0）

如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在直角坐标系中如图摆放，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（6，0）．（1）直接写出线段AB的中点P的坐标为______；（2）求直线OC的解析式；（3）动点M、N分别从O点出发，点M沿射线OC以每秒2个单位长度的速度运动，点N沿线段OB以每秒1个长度的速度向终点B运动，当N点运动到B点时，M、N同时停止运动，设△PMN的面积为S（S≠0）运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

Answer 1

（1）P（3，1）；

（2）过点C作CE⊥OB，CD⊥OA
∴∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°∴∠ACD+∠ACE=90°
在等腰Rt△ABC中
AC=BC，∠ACB=90°
∴∠BCE+∠ACE=90°（3分）
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴CE=CD
∴点C在第一象限的角平分线上（4分）
∴直线OC的解析式为y=x；

（3）①当点M在点P左侧时
过点P作PF⊥OB
由题意可知
OM=

2

tON=t（5分）
∵点M在函数y=x上
∴M（t，t）
∵N（t，0）
∴MN⊥x轴
∴MN=t
∵点P（3，1）（6分）
∴PF=1，OF=3
∴NF=OF-ON=3-t；
∴S=S_梯形PMNF-S_△PFN=

(PF+MN)?NF

2

?

PF?NF

2

=-

t2

2

+

3

2

t；
 ②当点M在点P右侧时
过点P作PG⊥OB
由①可知（8分）
∴MN⊥x轴
∴MN=t
∵点P（3，1）（9分）
∴PG=1，OG=3
∴NG=ON-OG=t-3
∴S=S_梯形PMNG-S_△PGN（10分）
S=

(PG+MN)?NG

2

?

PG?NG

2

＝

(1+t)(t?3)

2

?

t?3

2

＝

t(t?3)

2

=

t2

2

?

3t

2

（3＜t≤6）（11分）
综上，S=-

? t2 2 + 3t 2 (0＜t＜3) t2 2 ? 3t 2 (3＜t≤6)

．