Question

△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且a2+c2?b2＝85ac．（1）求cos（A+C）+sin2B的值；（2）若b=2，

△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且a2+c2?b2＝85ac．（1）求cos（A+C）+sin2B的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）△ABC中，由余弦定理可得 cosB=

a2+c2?b2

2ac

=

4

5

，
∴sinB=

3

5

，cos（A+C）+sin2B=-cosB+2sinBcosB=-

4

5

+2×

3

5

×

4

5

=

4

25

．
（2）若b=2，则由题意可得 a2+c2?4＝

8

5

ac，
∴

8

5

ac≥2ac-4，ac≤10，当且仅当 a=c时取等号．
故△ABC面积为

1

2

ac?sinB≤

1

2

×10×

3

5

=3，故△ABC面积的最大值为 3．