已知函数f(x)=lnx-a(x-a),a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行,求

已知函数f(x)=lnx-a(x-a),a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行,求实数a的取值范围;(2)若x>0时,不等式f(x... 已知函数f(x)=lnx-a(x-a),a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行,求实数a的取值范围;(2)若x>0时,不等式f(x)≤0恒成立①求实数a的值;②x>0时,比较a(x-1x)与2lnx的大小. 展开
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所琦0DO
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解答:解:(1)函数f(x)=lnx-a(x-a)的导数f′(x)=
1
x
-a,
则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1-a,
又切线与直线y=2x平行,即有1-a=2,解得a=-1;
(2)①函数f(x)=lnx-a(x-a)的导数f′(x)=
1
x
-a,
当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)递增,f(x)无最值,则不成立;
当a>0时,x=
1
a
处导数左正右负,f(x)取极大,且为最大,
若x>0时,不等式f(x)≤0恒成立,
则有f(x)max≤0,即有-lna-1+a2≤0,令f(a)=-lna-1+a2
则f(1)=0,由y=x2-1和y=lnx的图象可得两个交点,横坐标设为x0,1,
则a的取值范围是[x0,1](0<x0<0.5);
②令g(x)=a(x-
1
x
)-2lnx
则g′(x)=a(1+
1
x2
)-
2
x
,(x>0)
ⅰ)当a=1时,g′(x)=(
1
x
-1)2≥0,g(x)在(0,+∞)递增,
且g(1)=0,则当0<x<1,g(x)<0,即有a(x-
1
x
)<2lnx,
x>1,则g(x)>0,即有a(x-
1
x
)>2lnx,
ⅱ)当0<a<1时,g′(x)=a(1+
1
x2
)-
2
x
=
ax2?2x+a
x2

令y=ax2-2x+a,由于△=4-4a2>0,则y=0有两根,
即为x1=
1?
1?a2
a
,x2=
1+
1?a2
a
,且x1x2=1.
且有在x1处g(x)取极大值m>0,在x2处g(x)取极小值n<0,
故g(x)=0与x轴有三个交点,横坐标由小到大设为:b,c,d.
则有当x=b,c,d,有a(x-
1
x
)=2lnx,
当0<x<b,或c<x<d,有a(x-
1
x
)<2lnx,
当b<x<c,或x>d有a(x-
1
x
)>2lnx.
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