Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起

如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起至△PBD，使∠PDC=90°．（Ⅰ）求证：PF⊥平面BCD；（Ⅱ）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：△ABD中，AD=BD，且∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，且AF⊥BD，
折后PE⊥BD，FE⊥BD，∴BD⊥平面PEF，∴BD⊥PF，
又AD=AB，AF=AF，∠BAF=∠DAF，
∴△BAF≌△DAF，
∴∠FBA=∠FDA=90°，即DF⊥AC，
折后DF⊥DC，且PD⊥DC，
∴DC⊥平面PDF，∴DC⊥PF，
∴PF⊥平面BCD，
（Ⅱ）解：设点C到平面PBD的距离为h，且AB=2，
由题意得PB=PD=BD=3，PE=

3

，EF=

3

3

，PF=

2 6

3

，PC=2

2

，
由V_C-PBD=V_P-BCD，
得

1

3

×(

1

2

×2×

3

)h＝

1

3

×(

1

2

×2

3

×1)×

2 6

3

，
解得h=

2 6

3

．
设直线PC与平面PBD所成角为α，
则sinα=

h

PC

＝

3

2 2

＝

3

3

，
∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

3

3

．