Question

如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC²=CD.CA（1）求证∠A=∠CBD（2）当∠A=α，BC=2时

求AD的长（其中sinα=3/5。cosα=4/5 tanα=3/4）

Answer 1

（1）∵BC²=CD·CA；
∴BC/CA=CD/BC
∵∠C=∠C=90°
∴ΔACB∽ΔBCD
∴∠A=∠CBD;
(2)∵tanα=3/4;
∴BC/AC=3/4;
∴AC=8/3;
∵BC/AC=2/8/3=6/8=CD/BC=CD/2;
∴CD=3/2;
∴AD=AC-CD=8/3-2/3=6/3=2;

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Answer 2

1）
由BC²=CD*CA得到
BC/AC = CD / BC
即tan∠A=tan∠CBD
又∠A，∠CBD都为锐角
所以
∠A=∠CBD

2）
BC/AC = tana =3/4
所以AC = BC/tana = 8/3
CD/BC = tan∠CBD = tana= 3/4
所以CD= BC*3/4 = 3/2
所以AD = AC-CD =8/3 - 3/2 = 7/6

Answer 3

（1）因为BC²=CD.CA 即：BC/CD=AC/BC 所以三角形ABC与三角形BDC相似 所以∠A=∠CBD
（2∠tanα=tanA=BC/AD=2/AD=3/4,得AC=8/3 又∠A=∠CBD 即tan∠CBD=tanα=CD/BC=3/4,得CD=3/2 所以AD=AC-DC=8/3-3/2=7/6

Answer 4

（1）证明：
∵BC²=CD.CA
∴BC/CD=CA/BC
又∠ACB=∠BCD
∴ΔACB∽ΔBCD
∴∠A=∠CBD
（2）解：
∵tanA=BC/AC
∴AC=BC/tanα=2/(3/4)=8/3
∵BC²=CD.CA
∴CD=BC²/AC=2²/(8/3)=4x3/8=3/2
∴AD=AC-CD=8/3-3/2=7/6

Answer 5

1.BC²=CD.CA，化成分数形式，BC/CD=CA/BC,
可知tanA=tan∠DBC，
∴∠A=∠DBC，得证
2.tanα=3/4，
BC=2
可求得AC=8/3,cd=3/2，所以ad=8/3-3/2=7/6