Question

已知二阶非齐次线性微分方程的三个特解为y1=1，y2=x，y3=x^2，写出该方程的通解。

要利用这个结论：若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解，则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的解。

Answer 1

若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解，则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的特解

利用上面的结论，可知y=x-1与y=x²-1都是这个二阶非齐次微分方程所对应的齐次方程的特解
因为这两个特解非线性相关，所以这个齐次方程的通解可表示为
y=C1(x-1)+C2(x²-1)
所以原微分方程的通解可表示为它的齐次方程的通解再加上它的一个特解
y=C1(x-1)+C2(x²-1)+1，C1,C2是任意常数

Answer 2

a1+a2x+a3x^2

Answer 3

线性非其次微分方程的解等于特解加上对应其次微分方程的解
证明:微分方程可简化为l[y]=f(x)其中l[y]是方程左边线性算子,并设y?为方程特解,y!为l[y]=0的通解,有线性的性质得到l[y?+y!]=l[y?]+l[y!]
有l[y?]==f(x)(特解),l[y!]==0(对应通解),所以l[y?+y!]==f(x),
证明上面为通解和证明线性其次方程的类是,非常长就不列出了.