Question

求助高一数学求圆的轨迹方程问题

已知圆N：x的平方+y的平方+2x+2y-2=0与圆M：x的平方+y的平方-2mx-2ny+m的平方-1=0交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心M的轨迹方程，并求其半径最小的圆M的方程。

求详细解答过程~

Answer 1

解：N(-1,-1)，半径为2， M(m,n)，半径√(n^2+1)=AM
由题意：连接MN，则MN垂直平分AB，
所以AM^2=AN^2+MN^2
根据两点之间距离公式，MN^2=(m+1)^2+(n+1)^2, 又AN=2
所以n^2+1=4+(m+1)^2+(n+1)^2
得n=-(m+1)^2/2-2
所以M的轨迹方程为y=-(x+1)^2/2-2
为顶点为(-1,-2)的抛物线，
半径最小时，M在顶点处为(-1,-2),此时半径=√(2^2+1)=√5
所以M方程为(x+1)^2+(y+2)^2=5