Question

求函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为为y=3x+1若y=f(x)在x=-2时有极值

(1)求f(x)的表达式
(2)求y=f(x)在【-3,1】上的单调区间和最值

Answer 1

因为f'(x)=3x^2+2ax+b
且：过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为为y=3x+1若y=f(x)在x=-2时有极值
即P过直线y=3x+1
所以：p（1,4）
那么有：f'(1)=3 ; f'(-2)=0
所以有式子：
2a+b+3=3
-4a+b+12=0
1+a+b+c=4
解得：b=-4 ； a=2 ; c=5
所以：f(x)=x^3+2x^2-4x+5

f'(x)=3x^2+4x-4
令f'(x)>0
解得：x∈(-∞ ， -2)∪(2/3 ， ∞)

所以，当x∈[-3,1]区间时
增区间：[-3,-2)∪(2/3, 1]
减区间：(-2,2/3)
所以x=-2时取最大值
最大值为：y=13

追问

能不能把第二题的过程写详细点

追答

f'(x)=3x^2+4x-4
令f'(x)>0
解得：x∈(-∞ ， -2)∪(2/3 ， ∞)
所以增区间就是(-∞ ， -2)∪(2/3 ， ∞)
减区间就是（-2,2/3）
当x∈[-3,1]区间时
增区间：[-3,-2)∪(2/3, 1]
减区间：(-2,2/3)
根据函数增减性
y(x=-2)=13
y(x=1)=4
所以x=-2时取最大值
最大值为：y=13

追问

y(x=-2)=13是代入原函数式还是求导后的式子里？

追答

原函数啊，这是求函数最大值，肯定带入原函数的。

追问

2/3和-3不用求出来四个比较吗

追答

根据函数增减性：
2/3肯定比1的时候小啊。
-3肯定比-2的时候小啊。
要求最大值，所以就忽略了

追问

是求最值、也就是最大值和最小值

追答

哦，那就都要求出来。我看错了
四个求出来取最大的和最小的

Answer 2

⑴ f′＝3x²+2ax+b f′﹙1﹚＝3+2a+b＝3①

点P(1,f(1))的切线为y=3x+1 f﹙1﹚＝4＝1+a+b+c②

y=f(x)在x=-2时有极值 12-2a+b＝0③ ①+③ b＝-6 ①a＝3 ②c＝6

∴f﹙x﹚＝x³+3x²-6x+6

⑵ x²+2x-2＝0 x＝-1±√3

单调区间: [-3,-1-√3],↗, [-1-√3,-1+√3]↘ [-1+√3,1]↗

最值 f﹙-3﹚＝24 f﹙-1-√3﹚＝14+6√3≈24.39 f﹙-1+√3﹚＝8-6√3≈-2.39 f﹙1﹚＝4

最大值＝14+6√3 最小值＝8-6√3

追问

第二题错了

追答

知道错了，你改正不就得啦！