Question

如图，AB是圆O的直径，点C为圆O上一点，∠ABC的平分线交圆O于点D，过点D作直线BC的垂线EF，垂足为G。

如图，AB是圆O的直径，点C为圆O上一点，∠ABC的平分线交圆O于点D，过点D作直线BC的垂线EF，垂足为G。

1、求证EF是圆O的切线；
2、若BC=12，cos∠ABC=2/3，求线段DG的长度。

Answer 1

(1)因AD平分∠ABC，所以，，∠ABD＝∠CBD，

连接OD，OD＝OB，∠ODB＝∠OBD

所以，∠CBD＝∠ODB，所以,OD//BG,

又因，BG垂直EF，所以OD垂直EF，所以EF是圆O的切线。

（2）连接AC，因AB是直径，所以∠ACB＝90度，

因。BC=12，cos∠ABC=2/3，BC/AB=cos∠ABC=2/3,AB=18,OB=9,

四边形DGCH是矩形，DG=HC，OH//BC,OB=1/2AB,HC=1/2AC

AC=√AB²-BC²=18²-12²=6√5,

所以DG=HC=1/2AC=1/2*6√5=3√5.

Answer 2

1,　连接DO。

 ∠DOA=2∠DBA  ∠CBA=2∠DAB

∠DOA=∠CBA  DO//BG  BG⊥EF

DO⊥EF  故EF是圆O的切线

2，连接AC，做DH⊥AB

BC=AB*cos∠ABC  AB=12/(2/3)=18

DO=AB/2=9

∠DOH=∠ABC    cos∠ABC=2/3  sin∠ABC=√5/3

sin∠DOH=√5/3

DH=DO*sin∠DOH=9*√5/3=3√5

DB为∠ABC角平分线，DG=DH=3√5

Answer 3

(1)证明：连接AC, OD
因为AB是圆O的直径
所以角ACB=90度
因为DE垂直BC于G
所以距G=90度
所以角G=角ACB=90度
所以OD平行BG
所以角ODB=角DBG
因为角G+角BDG+角DBG=180度
所以角BDG+角DBG=90度
所以角BDG+角ODG=角ODG=90度
因为OD是圆的半径
所以EF是圆O的切线
（2）解;：过点O作OM平行AC交BC于M
所以OM/AC=OB/AB=1/2
因为OD平行BG（已证）
所以四边形ODGM是平行四边形
所以DG=OM
因为cos角ABC=BC/AB=2/3
BC=12
所以AB=18
在直角三角形ACB中，角ACB=90度
由勾股定理得：
AB^2=AC^2+BC^2
所以AC=6倍根号5
所以OM=3倍根号5
所以DG=3倍根号5

Answer 4

解：
1、连接DO、AD
∵AB是直径
∴OD=DB
∴∠ODB=∠OBD
∵BD平分∠ABC
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴BG∥OD
∵BG⊥EF
∴OD⊥EF
∴EF是圆O的切线
2、过圆O点作OM⊥BC于M,
∵OM⊥BC,BC=12
∴BM=CM=1/2BC=6
∴在RT⊿OBM中
∴cos∠OBM=cos∠ABC=BM/OB
∴2/3=6/OB
∴OB=9（四边形ODGM为矩形，可证。）
∴DG=OM=√OB²-BM²=3√5

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