Question

如图，抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）

如图，抛物线y=-x 2 +bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x 2 +bx+c中得 -1+b+c=0 -9-3b+c=0 （2分） ∴ b=-2 c=3 （3分） ∴抛物线解析式为：y=-x 2 -2x+3；（4分） （2）存在（5分） 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称 ∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵y=-x 2 -2x+3 ∴C的坐标为：（0，3） 直线BC解析式为：y=x+3（6分） Q点坐标即为 x=-1 y=x+3 解得 x=-1 y=2 ∴Q（-1，2）；（7分） （3）存在．（8分） 理由如下：设P点（x，-x 2 -2x+3）（-3＜x＜0） ∵S △BPC =S 四边形BPCO -S △BOC =S 四边形BPCO - 9 2 若S 四边形BPCO 有最大值，则S △BPC 就最大， ∴S 四边形BPCO =S △BPE +S 直角梯形PEOC （9分） = 1 2 BE?PE+ 1 2 OE（PE+OC） = 1 2 （x+3）（-x 2 -2x+3）+ 1 2 （-x）（-x 2 -2x+3+3） = - 3 2 (x+ 3 2 ) 2 + 9 2 + 27 8 当x=- 3 2 时，S 四边形BPCO 最大值= 9 2 + 27 8 ∴S △BPC 最大= 9 2 + 27 8 - 9 2 = 27 8 （10分） 当x=- 3 2 时，-x 2 -2x+3= 15 4 ∴点P坐标为（- 3 2 ， 15 4 ）．（11分）