Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠DAC的平分线AM． ②连接BE并延长交AM于点F．（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）见解析   （2）AF=BC 证明过程见解析

解：（1）如下图所示； （2）AF∥BC，且AF=BC.理由如下： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB， 由作图可得∠DAC=2∠FAC， ∴∠ACB=∠FAC  ∴AF∥BC， ∵E为AC中点， ∴AE=EC， 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（ASA）． ∴AF=BC． （1）根据题意画出图形即可； （2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．