Question

如图，三角形ABC中，AC=BC= 2 2 AB ，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面AB

如图，三角形ABC中，AC=BC= 2 2 AB ，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（Ⅰ）求证：GF ∥ 底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

Answer 1

（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图） ∵G、F分别是EC和BD的中点 ∴HG ∥ BC，HF ∥ DE，（2分） 又∵ADEB为正方形∴DE ∥ AB，从而HF ∥ AB ∴HF ∥ 平面ABC，HG ∥ 平面ABC，HF∩HG=H， ∴平面HGF ∥ 平面ABC ∴GF ∥ 平面ABC（5分） 证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN （如图） ∵G、F分别是EC和BD的中点 ∴ GM ∥ BE，且GM= 1 2 BE， NF ∥ DA，且NF= 1 2 DA （2分） 又∵ADEB为正方形∴BE ∥ AD，BE=AD ∴GM ∥ NF且GM=NF ∴MNFG为平行四边形 ∴GF ∥ MN，又MN?平面ABC， ∴GF ∥ 平面ABC（5分） 证法三：连接AE， ∵ADEB为正方形， ∴AE∩BD=F，且F是AE中点，（2分） ∴GF ∥ AC， 又AC?平面ABC， ∴GF ∥ 平面ABC（5分） （Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF ∥ 平面ABC（5分） 又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC（7分） ∴BE⊥AC 又∵CA 2 +CB 2 =AB 2 ∴AC⊥BC， ∵BC∩BE=B， ∴AC⊥平面BCE（9分） （Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分） 又平面ABED⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分） ∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴ CN= 1 2 AB= 1 2 ，（12分） ∵C-ABED是四棱锥， ∴V C-ABED = 1 3 S ABED ?CN = 1 3 ×1× 1 2 = 1 6 （14分）