Question

已知圆C：x 2 ＋(y－3) 2 ＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点， M是PQ中点，l与直线m：x＋3y

已知圆C：x 2 ＋(y－3) 2 ＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点， M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ＝2 时，求直线l的方程；(3)探索 · 是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

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Answer 1

（1）见解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

(1)证明：∵l与m垂直，且k m ＝－ ， ∴k l ＝3.又k AC ＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C. (2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2 ，所以CM＝ ＝1，则由CM＝ ＝1，得k＝ ，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0. (3)解：∵CM⊥MN，∴ · ＝( ＋ )· ＝ · ＋ · ＝ · . ①当l与x轴垂直时，易得N ，则 ＝ .又 ＝(1，3)，∴ · ＝ · ＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由 得N ，则 ＝ . ∴ · ＝ · ＝ ＝－5. 综上， · 与直线l的斜率无关，且 · ＝－5. 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得 · ＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.