Question

已知抛物线y 2 =2x，（1）设点A的坐标为 ( 2 3 ，0) ，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应

已知抛物线y 2 =2x，（1）设点A的坐标为 ( 2 3 ，0) ，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x-y+3=0的距离最短，并求出距离的最小值．

Answer 1

（1）设抛物线上y 2 =2x上的点P（m，n）（m≥0）， 则|PA| 2 = (m- 2 3 ) 2 +n 2 =m 2 - 4 3 m+ 4 9 +2m=m 2 + 2 3 m+ 4 9 = (m+ 1 3 ) 2 + 1 3 ， ∵m≥0， ∴当m=0时，|PA| 2 达到最小值 4 9 ， ∴当点P的坐标为P（0，0）时，|PA| min = 2 3 ； （2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y 2 =2x， 则点P到直线的距离d= |x-y+3| 2 = | y 2 2 -y+3| 2 = |(y-1) 2 +5| 2 2 = 2 4 [（y-1） 2 +5]≥ 5 2 4 ，当且仅当y=1时，取“=”． 此时点P（ 1 2 ，1）． 即抛物线上的点P的坐标为P（ 1 2 ，1）时，点P到直线x-y+3=0的距离最短，最小值为 5 2 4 ．