Question

已知函数f （x）=|x|x+2（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f （x

已知函数f （x）=|x|x+2（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）当x＞0时，f （x）=

|x|

x+2

=

x

x+2

＝1?

2

x+2

设0＜x₁＜x₂
∴f(x1)?f(x2)＝1?

2

2+x1

?1+

2

2+x2

=

2

2+x2

?

2

2+x1

=

2(x1?x2)

(2+x1)(2+x2)

∵0＜x₁＜x₂
∴2（x₁-x₂）＜0，（2+x₁）（2+x₂）＞0
∴

2(x1?x2)

(2+x1)(2+x2)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增
（2）当x∈[2，3]时，f（x）=

x

x+2

=1?

2

2+x

∴4≤2+x≤5，

2

5

≤

2

2+x

≤

1

2

∴

1

2

≤1?

2

2+x

≤

3

5

∵f（x）=k在[2，3]上有解，则

1

2

≤k≤

3

5

（3）f（x）=kx²有四个根，即

|x|

x+2

＝kx2（*）有四个根
当x=0时，是方程（*）的1个根
则

|x|

x+2

＝kx2有3个不为0的根
而

1

k

＝

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