Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2

如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线上找点E（不与点A、B、C重合），使得∠DBE=45°，求E点的坐标．（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），x=-b2a时，y最大（小）值=4ac?b24a）

Answer 1

（1）∵抛物线y=y=-x²+bx+c经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴

?1?b+c＝0 c＝4

，
∴

b＝3 c＝4

，
∴抛物线的解析式y=y=-x²+3x+4；
（2）令-x²+3x+4=0，解得x=-1或4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+a，
∴

4k+a＝0 a＝4

，
∴

k＝?1 a＝4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
设P（t，-t²+4t+4），则Q（t，-t+4），∴m=PQ=-t²+4t+4-（-t+4）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，m的最大值为4；
（3）∵抛物线上一点D的纵坐标为m的最大