Question

（2010?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛

（2010?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．

（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m）．
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）²+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）．
∴点P的坐标是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．

（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）²+2
即y=x²-2x+3．
假设在抛物线上存在点Q，使S_△QMA=S_△PMA．
设点Q的坐标为（x，x²-2x+3）．
①点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC∥AO，交y轴于点C，
∵PB=3，AB=4，
∴AP=1，
∴OC=1，
∴C点的坐标是（0，-1）．
∵点P的坐标是（2，3），
∴直线PC的函数解析式为y=2x-1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴点Q落在直线y=2x-1上．
∴x²-2x+3=2x-1．
解得x₁=2，x₂=2，
即点Q（2，3）．
∴点Q与点P重合．
∴此时抛物线上存在点Q（2，3），使△QMA与△APM的面积相等．
②当点Q落在直线OA的上方时，
作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE∥AO，交y轴于点E，
∵AP=1，
∴EO=DA=1，
∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线DE函数解析式为y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA，
∴点Q落在直线y=2x+1上．
∴x²-2x+3=2x+1．
解得：x₁=2+

2

，x₂=2-

2

．
代入y=2x+1得：y₁=5+2

2

，y₂=5-2

2

．
∴此时抛物线上存在点Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

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