Question

已知a＞0，函数f（x）=|x?a|x+2a在区间[0，4]上的最大值为710，则a的值为______

已知a＞0，函数f（x）=|x?a|x+2a在区间[0，4]上的最大值为710，则a的值为______．

Answer 1

记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），
当0≤x≤a时，f（x）=

a?x

x+2a

；当x＞a时，f（x）=

x?a

x+2a

∴当0≤x≤a时，f′（x）=

?3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，f′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=

1

2

，不符合；
②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=

a?1

2+a

∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=

4?a

4+2a

；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=

1

2

，
∴

4?a

4+2a

=

7

10

，∴a=

1

2

．
故答案为：

1

2

．