Question

设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax(a>0),求单调区间

Answer 1

己知函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax求f(x) 单调区间, 求所有实数a使e-1<=f(x) <=e^2. 对x属于[1 e]恒成立。
(1)解析：∴函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax，其定义域为x>0
令f’(x)=a^2/x-2x+a=(-2x^2+ax+a^2)/x=0==>x1=-a/2，x2=a
f’’(x)=-a^2/x^2-2
∴f’’(x1)=-6，f’’(x2)=-a-2
A=0时
f(x)=-x^2，f(x)在(-∞,0)上单调增；在[0,+∞)上单调减；
a>0时
x1=-a/2<0,舍去; x2=a>0
f’’(x2)=-a-2>0==>a<-2；-a-2=0==>a=-2；-a-2<0==>a>-2
∴函数f(x)在x2处取取极大值；
A<0时
x1=-a/2>0; x2=a<0舍去
f’’(x1)=-6<0
∴函数f(x)在x1处取取极大值；
综上，
当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调增；在[a,+∞)上单调减；
当a=0时，函数f(x)在(-∞,0)上单调增；在[0,+∞)上单调减；
当a<0时，函数f(x)在(0,-a/2)上单调增；在[-a/2,+∞)上单调减；
(2)解析：∵x∈[1 ,e]，e-1<=f(x) <=e^2恒成立
A=0时，f(1)=-1，f(e)=-e^2，显然，a=0不合题意所求；
a>0时，函数f(x)在x=a处取极大值, f(a)=a^2lna=e^2==>a=e
∴在区间[1,e]上f(1)为最小值f(1)=a-1=e-1==>a=e；
A<0时，函数f(x)在x=-a/2处取极大值, f(-a/2)=a^2ln(-a/2)-3a^2/4
f(-a/2)=a^2ln(-a/2)-3a^2/4=a^2[ln(-a/2)-3/4]
设h(x)= ln(-x/2)-3/4 (x<0)
H’(x)=x<0
∴函数h(x)单调减
当x由负趋近0时，h(x)<0
∴f(-a/2)=a^2ln(-a/2)-3a^2/4<0, 显然，a<0不合题意所求；
∴满足题意所求的a=e

Answer 2

x>0求导，得a^2/x-2x+a=-(x-a)(2x+a)/x，a>0，故单调增区间(0,a)单调减区间(a,+∞)