Question

已知(a!)(b!)=a! +b! +c!,求c(a^5+b^5+c^5)+3=_____

RT

Answer 1

由对称性不妨设a ≤ b.
若a = 0, 代入得b! = 1+b!+c! > b!, 矛盾.
故1 ≤ a ≤ b.

由a! | b!, 以及c! = (a!)(b!)-a!-b!, 有a! | c!, 于是a ≤ c (1 ≤ a).
若a = c, 代回得(a!)(b!) = b!+2(a!), 有b! | 2(a!).
又a! | b!, 只有b! = a!或b! = 2(a!).
代回分别得到(a!)² = 3(a!)与2(a!)² = 4(a!).
前者得a! = 3, 无解. 后者得a! = 2, b! = 4, 也无解.
因此a < c, 有a+1 ≤ c, (a+1)! | c!.

若a < b, 有(a+1)! | b!.
于是(a+1)! | (a!)(b!)-b!-c! = a!, 矛盾.
因此a = b, 条件变为(a!)(a!-2) = c!.
依次取a = 1, 2, 3, 知a = b = 3, c = 4是一组解.

以下证明a > 3时无解.
由(a+1)! | c! = (a!)(a!-2), 有a+1 | a!-2.
由a > 3, 有4 | a!, 但4不整除2, 因此4不整除a!-2.
a+1作为a!-2的约数也不能被4整除.
若a+1是偶数, 则(a+1)/2是奇数.
另一方面, 对任意奇数1 < m ≤ a, 有m | a!, 但m不整除2, 因此m不整除a!-2.
于是a+1作为a!-2的约数也不能被m整除.
因此a+1为奇数(否则1 < m = (a+1)/2 ≤ a是整除a+1的奇数).
a+1的约数只有1和a+1, 即a+1为质数.
设p = a+1, 根据Wilson定理, 由p是质数, 有a+1 = p | (p-1)!+1 = a!+1.
又a+1 | a!-2, 相减得a+1 | 3, 与a > 3矛盾.

综上, a = b = 3, c = 4是唯一解.
可算得c(a^5+b^5+c^5)+3 = 6043.