Question

六年级期中考试我不会。

Answer 1

“数学广角”作为人教版数学课标实验教材新增的特色板块，其内容新颖、与生活联系密切，活动性和操作性较强，教与学都有着较大的探究空间，学生对这块内容的学习有着浓厚的兴趣。但随着实验的深入,各种困惑也随之而来,如教学目标定位失当、数学思考落实不足、数学活动徒具形式、过度追求生活化与趣味性等等,有的教师把“数学广角”当成“实践活动课”来上，有的教师把“数学广角”上成了简单的游戏活动课或传统的应用题教学课；由于思维含量比较高，有的上完课后有很大一部分学生作业不会，这都有悖教材编写的初衷，这说明有不少具体问题需要进一步澄清。如：教学目标如何定位？教材的编排特点能给我们什么启示？如何提高教学的有效性？笔者通过进一步研读《数学课程标准》及人教版实验教材，对“数学广角”的教学目标、教学内容进行了梳理和分析，试图结合一些教学实践谈一些自己的认识和思考，希望对老师们能有所帮助和启发。

一、“数学广角”教学中存在的一些不良现象。

近年来，我们经常看到“数学广角”的教学内容成为各种各样教研活动的“常客”，成为一些公开课和优质课的“宠儿”！可能是因为它一般可以作为独立的教学内容来处理，不需要考虑进度；还有的是跟随“潮流”，觉得比较时髦，最能体现课改理念。然而，笔者发现，在数学广角教学中有许多的不足和失当，也是老师们感觉困惑比较多的地方。

（1）教学目标定位失当。由于对教材的理解不到位，目标定位发生偏差，以至于有些教师将“数学广角”纳入“实践与综合应用”领域，当做“综合实践课”来上。

（2）数学思考把握不准。由于数学思考的“度”没有把握准确，课堂上出现要求过高的现象。有一位教师在教学二年级上册的“简单的排列和组合”时为体现创新和与众不同，在教学中出现的例题和习题大部分却是三年级上册的内容。二年级与三年级的“简单的排列和组合”虽然属同一块内容，但两者的教学要求是不同的，虽可以适当调整一点，但却不能拔苗助长。

还有一位老师在教学《搭配问题》中，最后要求让学生抽象出“乘法原理”和“加法原理”，并细加比较，且将“组合”和“排列”的概念提炼出来。当作奥数课来上了。

也有出现要求过低的现象，一味地追求解决问题的结果，甚至一节课下来只停留在直观实验操作层面上，忽视了从直观上升为抽象的过程，从而也就忽视了数学思想方法的感悟，出现了目标定位偏低。例如教学搭配问题，有的老师出示的内容（如两件上衣和两件下装有几种搭配）都是让学生画一画来解答，从课的开始到课的结束，解决问题的策略都是停留在直观状态。这样做，只有直观，没有抽象，数学思考不够，更缺少数学思想方法的渗透。

（3）活动过程徒具形式。很多课堂以美丽的课件来代替活动过程，以至于课堂上眼花缭乱“课件满天飞”，学生的数学思考没有真实活动体验的支撑，活动过程徒具形式，难有实效。

（4）教材处理过于简单。新课程实验教材使用中，许多教师都会遇到这样一个困惑：简单的教材内容该怎样处理、设计？对这种简约的教材编排，许多教师往往以机械化、简单化的眼光狭隘处理教材内容，例如有位教师在上“重叠问题”时是这样设计的：

师出示教材统计表，问：“你观察到了什么？”

生：我观察到统计表上有男生和女生参加数学兴趣小组活动。

师：男生有多少人？女生有多少人(生：男生八人、女生七人。)

师：男生和女生一共有多少人？（生：男生和女生一共有十五人。）

师：观察统计表，男生和女生真的有十五人吗？

生：男女生有三人是重合的，重合的三人被重复地算了一次，总人数应该没有十五人。

师：请同学们列式。

生：列式：8+7-3=12（人）

师：为什么总人数不等于15，而等于12呢？如果把男生人数和女生人数用两个圆圈表示，同学们会做吗？动手做做看。

生：学生翻开书将男女生的名字分别填在两个集合圈内。

但如何用两个集合圈一目了然地表示出参加两个兴趣小组的人数，大部分学生还是不太清楚。

师感到很无奈，只好自己指出：○○将这两个圈往中间一推，交叉的地方就表示男女生重合的人数。这样重合的人数就只算一次。

我们知道，数学教材由于篇幅的限制，往往以精炼、浓缩的编排方式来呈示丰富的数学内容。教师作为教材的开发者、教学的组织者，应尽力发挥自身的主导作用，结合学生的心理规律和认识背景，通过对教材的再加工，将简单、静态、结果性的教材内容，设计成为丰富、生动、过程化的教学内容，让学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活动经验，进而促进自身的主动发展。然而在上述案例中，教师套搬教材简单化的编排模式，将教材内容作了简单化的教学处理。

本案例中将学生学习活动建立在看数学、听数学、说数学等间接性经验基础上，而忽略了为学生提供亲自探索实践的机会，未能让学生自己去做数学、猜数学、找数学，积累丰富的直接性活动经验，导致学生对数学触摸得不深、不透，难以建立真正意义上的数学。这些简单化的教学设计，使学生对列式计算的意义理解浅薄、单一，难以达到深刻理解与灵活应用，制约了学生的数学素养的培养与发展。

（5）过度追求生活原型。密切数学与生活的联系是新课程倡导的新理念。但在“数学广角”的教学中过度追求生活化却导致“数学味”淡化，以至于课堂上出现了本末倒置的现象。

例如，有位老师在上“数字编码”一课时，从邮递员送信作为切入口创设一个情境，绕了很大的圈子才引出邮编，然而又费了很长的录像来介绍邮局里投递信件的过程，之后半节课来介绍身份证的制作过程，学生听得很轻松，根本不用进行数学思考，俨然一堂“科学常识课”！

再如，一位老师教学“找规律”（一下）一课，出示主题图让学生找规律，涂一涂、画一画，贴一贴感知创造的规律。接下来，根据仿照音乐打节奏的方式体验规律，课堂很热闹，变成了节奏的海洋。其实，前半节课是“美术课”，后半节课是“音乐课“。

因此，经常许多听课的老师发出这样的感叹：“这样的课太难上了，听也听糊涂了！”

二、人教版“数学广角”的编排特色。

“数学广角”是人教版教材特有的内容，其它版本的教材没有“数学广角”，虽然“数学广角”的部分内容在其他版本的教材中有涉猎，但像人教版教材这样从一年级开始一直到六年级形成一个比较系统、比较完整的体系的，其他版本是没有的，这也成了人教版教材很亮丽的特色之一。

1、“数学广角”编排的意义。

人教版教材利用“数学广角”系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的、以解决 学生容易接受的生活问题的形式呈现出来。使学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。

2、“数学广角”内容的安排结构。

为了便于研究“数学广角”，笔者把整套人教版教材中“数学广角”教学内容整理成如下表：

册数 内容 数学思想方法

一年级下册 找规律 推理、数列

二年级上册 搭配问题

逻辑推理 排列组合

推理

二年级下册 找规律 数列、推理

三年级上册 搭配问题 排列组合

三年级下册 重叠问题

等量代换 集合

等量代换

四年级上册 烙饼、沏茶、

等候、田忌赛马 优化

四年级下册 植树问题 数学建模

五年级上册 数字编码 数字编码

五年级下册 找次品 优化

六年级上册 鸡兔同笼问题 假设

六年级下册 抽屉原理 抽屉原理

从表中可以看出“数学广角”的内容安排上充分体现了《数学课程标准》中提出的：“重要的数学概念与数学思想宜逐级递进、螺旋上升。”这一理念。

例如在渗透排列和组合的数学思想方法时，实验教材先在二年级上册教材中，安排学生初步接触一点排列与组合知识，让学生通过观察、猜测以及实验的方法可以找出最简单的事物的排列数和组合数。如用两个数字卡片组成两位数的排列数，三个小朋友两两握手的组合数等。而在三年级上册教材中又继续学习排列与组合的内容。但目标定位为在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过观察、猜测、实验等活动找出事物的排列数和组合数。如两件上装和三件下装有多少种不同的搭配等数学问题。与二年级上册教材相比，三年级教材的内容则更加系统和全面分别介绍排列以及组合。同样的安排也出现在“找规律”这一内容上。其次综观整个十二册教材中的“数学广角”，无不体现了思维层次是从低到高，从具体到抽象，逐级递进、螺旋上升，向学生逐步渗透这些数学思想方法，以符合数学认知规律。

3、“数学广角” 的学习素材。

“数学广角”在学习素材的设计上也能体现《数学课程标准》的理念，力求通过解决学生容易接受的且熟悉的生活问题的形式，为学生提供感受数学思想方法的素材和空间。

如，通过大家天天要穿的上衣和下装的搭配问题来渗透排列与组合思想；通过学校常见的参加兴趣小组的统计来渗透集合思想；通过家里来客人了沏茶来渗透最优化思想；通过植树、邮政编码来渗透数学建模及编码思想等等。无论是这些例题的情境还是习题中的素材选择无一不是学生熟悉的生活素材，这样的生活问题解决不但能激起学生探索知识的兴趣，更感受到数学思想方法的奥妙以及数学思想方法与实际生活的密切联系。

4、“数学广角”在不同学段的不同要求。

“数学广角”在每一个学段都有不同的要求。在第一学段要求以“操作实践”为主题，考虑到这一阶段学生储备的数学知识比较零碎，已有的生活经验不够丰富。因此引导学生通过“操作实践”的活动来展开探究，使他们体验到现实生活中隐含着数学知识，同时初步培养他们观察、操作及归纳推理的能力。第二学段要求以“抽象建模”为主题，考虑到学生经过第一阶段的学习，已有了一定的数学知识和解决简单问题的经验，也有了一定的逻辑思维能力，因此在继续强调实践与经验的基础上，增强了“抽象建模”的要求。不仅使学生理解并初步掌握一些数学思想、模型，同时努力提高他们用数学解决实际问题的能力，逐步形成有序、严密抽象思考问题的意识和习惯。

5、“数学广角”的编排特点给我们的启示。

（1）密切联系生活。翻开教材我们不难发现，“数学广角”的内容都是源于学生熟悉的生活事例。这样编排体现了“学生的数学学习内容应是现实的、有意义的、富有挑战性的”这一理念，使数学更贴近儿童的生活实际，有利于激发他们对数学的好奇心和求知欲，帮助他们建构知识、加深理解，同时也启示我们：有效的数学学习活动应该建立在学生已有的生活经验基础上，教师的教应该基于学生的生活经验进行。

（2）让学生经历探索数学知识的过程。围绕问题的解决，让学生经历探索数学的过程，进而使学生得到数学思想方法的渗透、提高数学思维能力，这是人教版小学数学实验教材编排“数学广角”的一大特点。

我们知道，数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性数学知识，而小学生的思维又以具体形象思维为主，所以如果在教学中不注重引导学生亲历数学探究的全过程，很容易造成学生学完后大部分作业不会做的现象。因此，我们在教学时要关注学生的认知起点和教学的落脚点，为学生构建一个亲身经历探索数学知识的平台，通过在解决问题中展开观察、操作、猜测、实验、推理与交流等数学活动，感受数学思想方法，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

（3）加强直观形象思维对学生学习数学的作用

“数学广角”的内容编排非常强调利用直观手段来帮助学生理解问题情境、感悟思想方法、提高学习效率。比如第三册教材安排了摆数字卡片和握手的情境来体现简单的排列组合；第五册教材利用连线的方式来帮助呈现搭配衣裤的有序思考；第六册教材利用集体圈把两个课外小组的关系直观地表达出来，利用天平的原理来帮助学生体会等量找换的思想方法；第八册利用线段图来揭示植树问题的一般规律；第十册利用列表、画图等方式帮助学生抽象地分析如何找次品等。

从儿童思维的特点来看：小学生的思维是从具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡。这时他们的思维还是直接与感性经验、形象材料相联系的，还需要直观手段的支持。而我们在教学中时常会忽视直观形象思维对学生学习数学的作用，使学生感到数学是枯燥、无趣和难以理解的，出现了学习热情和学习效率低下的尴尬境遇。因此，关注学生的形象思维能力，是帮助他们学习抽象数学知识的前提。由此可见，我们在教学过程中要经常利用实物、教具、图表、生活经验、幽默语言等直观教学手段来帮助学生学习数学。

三、“数学广角”的定位。

1、“数学广角”主要教学目标是逐步渗透数学思想方法。

《数学课程标准》在教材编写建议中明确提出：“根据学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，一些重要的数学概念与数学思想应采用逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排。”基于这样的指导意义，人教版实验教材在编排“数学广角”时，主要是通过一些比较简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，让学生在解决问题的过程中主动尝试从数学的角度寻求解决问题的策略，经历猜想、实验、推理等数学探索活动的过程，逐步增加学生解决实际问题的经验和能力，体会一些重要的数学思想方法。

因此，渗透重要的数学思想方法是“数学广角”的主要教学目标。渗透的理想境界是“润物细无声”。

2、数学广角与传统应用题教学的关系 。

“数学广角”不同于传统的应用题教学，虽然有些数学广角的内容来自传统应用题内容。如“鸡兔同笼”、“植树问题”。传统的应用题虽然也注重联系实际，但主要是作为帮助学生理解数学知识的一种手段，呈现的大多是答案唯一的问题，往往缺乏开放性；传统的应用题也重视培养学生解决简单问题的能力，但主要是看能否解答书上的问题。教学中更多关注的是学生的解题能力，学生的解题过程很大程度上成了“理解数量关系——搜寻记忆的图式——运用对应图式作解答”的一个过程。而“数学广角”强调体验和抽象的过程，呈现的问题更具有开放性和挑战性。在解决问题的过程中，学生不能依靠简单的模仿和记忆，而是需要积极思考，不断对信息进行加工和处理，通过观察、操作、猜想、实验、抽象等一系列的数学活动使他们在提高数学思维水平的同时，体会到一些重要的数学思想方法。

3、数学广角与奥数的关系。

尽管数学广角的许多内容原本是奥数的内容。例如“抽屉原理”、“找次品”、“找规律”等等。但数学广角和奥数是不同的。

奥数教育实质上是精英教育，是对智力超群的学生的拔高教育。数学广角面向的是全体学生，是大众教育；奥数难度一般要大，题目多，数学广角难度小，内容少；奥数注重的是思维训练，主要采用灌输式教学方式，进行题型套路教学，而数学广角注重的是数学思想方法的渗透，主要采用启发式教学，引导学生主动学习，开发智力，提高数学素养。奥数使得学生学会根据题型判断采用哪种解题方法，老师没有教的题型学生不会做，教的多的，训练得多的，做的就好；而数学广角使得学生学会举一反三，学会融会贯通，激发学习兴趣，开阔数学视野，在经历、体验、感受中，润物细无声的渗透数学思想方法。

4、数学广角更加注重数学思考。

全日制义务教育《数学课程标准》指出：知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度是义务教育阶段数学课程的总目标，这四个方面的目标是一个密切联系的、不可分割有机整体。

数学思考就是在面临各种问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度去思考问题，发现其中存在的数学现象，并运用数学的知识与方法去解决问题。也就是使学生有“一双能用数学视角观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑”。没有数学思考，就没有真正的数学学习。应当说数学思考主要的就是数学思维，当然不仅是思维训练，还有发现数学，应用数学的意识和能力。

和其他的数学教学内容一样，通过“数学广角”教学要实现知识技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个目标。当然，这四个目标的份量不会是一样的。显然，“数学广角”内容思维含量高，对于数学思考目标的实现有着得天独厚的条件。因此，在“数学广角”教学中，应该更多地关注数学思考教学目标是否实现，应该如何实现。特别对于数学思考应达到怎样的层次，应该有明确的要求和准确的判断，既不能过低，也不能过高。

四、提高“数学广角”教学有效性的策略。

1、准确把握教学目标。

从教学目标的把握来看，数学广角的教学首先应定位于通过数学活动，让学生感受数学的思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。

因为数学广角是面向全体学生渗透数学思想方法的，意图是让每一个学生受到数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。因此，要防止把数学广角当做奥数培训课进行“英才”教育，它需要更多地、有计划地创设实践活动，让全体学生去观察、研究、尝试，重在活动中对思想方法的感悟。

如四上编排的运筹思想和对策论都是比较系统、抽象的数学思想方法，教材只是让学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。教师在教学中也不要使用运筹、优化和对策等数学化的语言进行描述。

2、合理开发、整合教学内容。

内容是教学的载体，数学广角的内容有明确的教育内涵和主题空间，数学思想方法是它的灵魂和核心。对教师来说，作为课程资源的使用者，应对教材中的数学广角内容认真分析，制定教学目标，理清学生参与数学活动的线索，有效地组织教学，同时根据需要对教材内容进行时间上的调整和内容上的取舍。作为教材资源的开发者，教师应结合教学内容和课程目标自觉地选择和整合课程资源，使课程内容与学生的数学活动结合得更加紧密，更能体现思想方法的渗透和熏陶。

如四上编排的《数学广角四》，从“田忌赛马”的故事引入对策论的应用问题，对策论研究的是竞争的双方各自采取什么对策才能够战胜对手。“田忌赛马”的故事学生可能已经了解，但并不是从数学的角度去理解的，我们要通过这个故事让学生体会对策论方法在实际中的应用。

有一位老师做了这样的教学尝试：上课伊始，老师向同学们介绍羽毛球女团决赛时，湖南女队教练巧妙布阵击败广东女队夺得冠军。广东女队实力强大，可惜有勇无谋，导致输球。

湖南队用了什么对策？听说过田忌赛马的故事吗？我们一起来回顾田忌赛马的过程。描述完故事，老师提出问题：“为什么马还是那几匹马，比赛结果却不一样呢？”通过引导大家思考，得出结论：“在比赛中选择不同的对策，往往会得到不一样的结果”。

在这一教学过程中引导学生通过羽毛球团体比赛的具体事例，初步体会对策论方法在解决实际问题中的应用，能够激发学生的学习欲望，为本堂课的学习打下了较好的基础。

再如一位教师在教三年级下册的数学广角时，因为教材上例题和练习只有7题，教师就补充了更多的符合学生认知水平的素材让学生去体验，感受数学的思想方法，如：1只小狗的重量等于2只小猫的重量，4只小猫的重量又等于2只小兔的重量，1只小狗的重量等于几只小兔的重量？又如：王老师出了两道题，在第一小组的12人中，做对第一题的有8人，做对第二题的有10人，每人至少做对一题，两题都做对的有几人？这都是学生较熟悉的题材，学生易于融入，也易于思考，从而也体会到了集合的数学思想。

3、通过活动体验、感悟思想。

数学思想方法其特点是呈隐蔽形式，它比数学知识更抽象。而“数学广角”的内容都是把这些抽象的数学思想方法以学生可以理解的直观形式，采用生动有趣的事例呈现出来。所以“数学广角”的教学难点在于如何让学生从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验；没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此在课堂上必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用。

教学过程中，我们应该创设学生感兴趣的各种情境，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程中来，在动脑、动手、动口的过程中，让学生根据自己的体验，逐步领悟数学思想方法。。

如四年级上册“数学广角”中安排的“烙饼问题”，目的是让学生理解优化思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生解决问题的能力。运筹思想是比较系统、抽象的数学思想方法，如何让学生通过简单的事例，体会运筹思想在解决实际问题中的应用，强化学生的运筹意识，离不开学生的数学活动和数学思考。

首先，通过数学活动让学生感悟运筹思想。

在理解问题情境的基础上，教师让学生猜测烙3张饼所需要的时间，通过猜测激发学生积极主动参与问题解决的过程。在学生对问题作出自己的大胆预测之后，教师不失时机地向学生提供充分从事数学活动的机会，让他们在自由探索和合作交流的过程中，发现怎样烙才可以花最少的时间让每个人都吃上饼的策略，从而获得对运筹这一数学思想方法的感悟。

（1）请从信封袋里拿出“烙饼”“锅”，一人一份，亲自动手烙一烙，看看你最少需要几次烙完，每次怎么烙；（2）四人小组交流你烙饼的方法。

这一操作过程是一个手脑并用的过程，学生不仅眼看、手动、而且口讲、脑想，多种感官协同活动。手指尖的触觉引起的刺激迅速地传递给学生的大脑，使学生产生积极的思维欲望——怎样才能达到“最省时间、最佳效益”。他们在动手摆摆、移移等操作中对运筹思想有所发现，有所感悟：

为保证烙饼用时最短，只需要保证每一次锅里都烙着两个饼的各一个面。

寻求优化是人类的一种本能，通过数学活动，我们把抽象的运筹思想变为学生看得见、摸得着、能理解的数学事实：怎样合理地烙才能最快让大家吃上饼。在学生有意识的数学活动中，促使他们对材料进行整理，找出有规律的现象，进行对比分析。在这一活动过程中学生初步体验和感悟运筹思想。理解运用运筹思想可以帮助我们合理地安排事情，节省时间，提高效率。

其次，利用数学运算理解运筹思想。

通过数学活动使学生感悟到运筹思想在烙饼问题中的应用可以减少时间，提高效率。在此基础上我们可以利用数学运算，在强调数学算法活动（数学思考）的同时让学生理解运筹思想给我们带来的效益。

师：如果要烙4张饼，怎样才能最快吃上饼？（2张2张地烙）

师；烙5张饼呢？（可以先烙2张，再用最优方法烙3张）

在前面动手操作的基础上，这里教师抛开了形式上的操作，让学生利用大脑的思维去“操作”烙4张饼和5张饼的最快方法，这实际上是一种数学算法的运用。

因此在教学“数学广角”时我们要避免只有直观，没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。而应该引导学生主动参与，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟数学思想方法。