Question

傅里叶（FFT、DFT、傅立叶、Fourier）傅里叶变换的结果为什么含有复数？

为什么傅里叶变换的结果含有复数成份？
我是新手，我看了很多关于FFT的资料，现在看到一个资料说FFT转换的结果是实部+虚部，所以不理解为什么从时域转到频域就会变成复数。

Answer 1

第一，从定义式上看，积分号里含有复数，积分结果是复数；

第二，从傅立叶变换的物理意义上看：FT变换是将一个信号分解为多个信号之和的形式，并且是正弦或余弦信号叠加的形式；我们知道，决定一个正弦波的是其振幅和相位，二者缺一不可。

而实数只能表示振幅或者相位，而复数是二维平面上的，可以同时表示振幅和相位，所以用复数表示。频谱是复数形式，可以分解为振幅谱和相位谱，它们是实数形式。

扩展资料：

在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。

将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

参考资料来源：百度百科--傅里叶变换

Answer 2

第一，从定义式上看，积分号里含有复数，积分结果是复数；
第二，从傅立叶变换的物理意义上看：FT变换是将一个信号分解为多个信号之和的形式，并且是正弦或余弦信号叠加的形式；我们知道，决定一个正弦波的是其振幅和相位，二者缺一不可；而实数只能表示振幅或者相位，而复数是二维平面上的，可以同时表示振幅和相位，所以用复数表示。频谱是复数形式，可以分解为振幅谱和相位谱，它们是实数形式。
答题不易，望采纳！

追问

1.哪个积分式？

      （式1）

         （式2）

是（式1）还是（式2）？

2.而实数只能表示振幅或者相位，而复数是二维平面上的，可以同时表示振幅和相位，所以用复数表示。频谱是复数形式，可以分解为振幅谱和相位谱，它们是实数形式。

这句看不懂，复数为什么是在二维平面上的？

追答

e^(jwn)=cos(wn)+isin(wn)
含有复数项，结果是复数
至于第二个问题，我觉得你对复数的理解不够深刻，可以看看复数的百度百科，复数包含实部和虚部，相当于两个变量，这两个量确定了，复数就确定了。其实平面上点也是这样。实部和虚部分别对应横、纵坐标，则复数和平面上点一一对应。
对于初学傅里叶变换可能理解起来有点困难，建议你一定对应其物理意义来学，将其推导过程多看几遍。
说白了傅里叶变换就是将信号按照一定规则进行分解，变成一些列谐波叠加的形式，这些谐波分别对应于一个复数，复数模表示谐波振幅，辐角表示相位
你也可以按照其它规则进行分解，如方波、矩形波，但它们都不如谐波分解简单。
答题不易，望采纳！

追问

你说的一系列谐波叠加的意思是可以把一个不规则（或者规则）的信号分解成许多正弦和余弦的叠加，然后这些“谐波”每个都是可以用一个复数表示？然后复数的模就表示振幅？辐角表示相位，是我理解的这样的吧？
复数的模（设复数z=a+bi(a,b∈R)则复数z的模|z|=√a²+b²，是这样算吗？）
辐角也不懂是啥意思，听说《复变函数》学会了，这些就都是小菜？

不管如何都会采纳你的，就是想多了解一下，望耐心解答。

追答

然后这些“谐波”每个都是可以用一个复数表示?
对
然后复数的模就表示振幅？辐角表示相位，是我理解的这样的吧？
对，这里辐角范围理解为[ -pai,pai]
可以看到，振幅全是实数，辐角也全是实数，振幅和相位都与频率一一对应，分别组成振幅谱和相位谱。而它们都包含在频谱里（复数谱）。也就是说频谱即有振幅谱信息，又有相位谱信息。
科学的目的是为了简单。