Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=E

如图，在直角梯形ABCD中，AD ∥ BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．

Answer 1

（1）证明：

∵AD ∥ BC，

∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．

∵E为CD的中点，

∴ED=EC．

∴△ADE≌△FCE（AAS）．

∴EF=EA．（5分）



（2）连接GA，

∵AD ∥ BC，∠ABC=90°，

∴∠DAB=90°．

∵DG⊥BC，

∴四边形ABGD是矩形．

∴BG=AD，GA=BD．

∵BD=BC，

∴GA=BC．

由（1）得△ADE≌△FCE，

∴AD=FC．

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．

∵由（1）得EF=EA，

∴EG⊥AF．（5分）