Question

已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于 点E．（1）求证：

已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于 点E．（1）求证：△ABE ∽ △DBC；（2）已知BC= 5 2 ，CD= 5 2 ，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC为半圆的直径， ∴∠BAE=∠BDC=90°． ∵D是弧AC的中点， ∴∠ABE=∠DBC． ∴△ABE ∽ △DBC． （2）在RT△DCB中， ∵∠BDC=90°，BC= 5 2 ，CD= 5 2 ， ∴BD= 5 ． ∴sin∠DCB=BD：BC= 2 5 5 ． ∵△ABE ∽ △DBC， ∴∠AEB=∠DCB． ∴sin∠AEB= 2 5 5 ． （3）∵∠AEB=∠DEC， ∴sin∠DEC= 2 5 5 ． ∴EC=1.25，DE= 5 4 ，BD= 5 ． BE=BD-DE= 3 5 4 ，AB= 3 5 4 ×sin∠AEB=1.5．