Question

将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时

将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD的延长线交直线CE于点P.（1）如图2，BD与CE的数量关系是 , 位置关系是 ；（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长； （3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长.[

Answer 1

（1）BD=EC，BD⊥CE；（2） ；（3） .

试题分析：（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可. （2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长. （3）由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，得出点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的弧长 ，进而利用弧长公式求出即可． 试题解析：（1）BD=EC，BD⊥CE．理由如下： ∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB=2AD=4， ∴D，E分别是AB和AC的中点. ∴BD=EC=AD=AE，BD⊥CE. （2）如图3所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE. ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE. ∵∠1=∠2，∴BP⊥CE. ∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四边形ADPE为正方形．∴AD=PE=2. ∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°. ∴BD=CE= . ∴CP=CE-PE= . （3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA， ∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA= BC= . 在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°， ∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的弧长 . ∴点P运动的路线长为：